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    “我說的這句話是謊話”,你信嗎?| 悅讀科學

    2018/09/20
    導讀
    這題沒法答……


    一個看上去絕對正確的論述,結果卻能夠推導出一個完全荒謬的結論。這些悖論與數學家們一直保持著一種曖昧的關系——既代表了最嚴重的危機,又是一種新想法和新理論的來源。


    所謂悖論,就是一種似假非真、似是而非、自相矛盾的命題。它是一種顯然不能被解決的矛盾。一個看上去絕對正確的論述,結果卻能夠推導出一個完全荒謬的結論。想象一下,你列出了一個公理的清單,這些公理在你看來都是不容置疑的,然而你卻從這些公理出發推導出了一系列明顯是錯誤的定理!簡直是噩夢啊! 


    說謊者悖論

    歷史上著名的悖論之一,是由米利都的歐布里德提出的, 內容與古希臘詩人埃庇米尼得斯說過的話有關。的確,埃庇米尼得斯曾在某一日宣布說:“所有的克里特人都是騙子。”那么問題來了,埃庇米尼得斯自己就是一個克里特人!因此,如果他說的是真的,那么他就是個騙子,所以他說的就是謊話; 如果他說的是假的,那么他就是在說謊,這句話就成了真話! 后來,這個悖論被演變成了各種各樣的形式,其中最簡單的一種,是一個人說:“我說的這句話是謊話。” 


    說謊者悖論挑戰了一個我們預設的想法,那就是對于任意一句陳述來說,它或者是真,或者是假,絕對沒有第三種可能。在數學上,這被稱為“排中律”。乍一看,把排中律的原則當成一個公理似乎是個很誘人的提議。然而,說謊者悖論卻警告了我們:情況比排中律所說的更復雜。如果一個陳述確認了自己的虛假性,那么在邏輯上,它就是既非真也非假的。


    但是,這種程度的“困擾”并不會影響當今大多數數學家認為排中律是真實的。畢竟,說謊者悖論并不是一個真正的數學陳述,人們覺得它更像是一種語言學上的不一致,而不是一種邏輯的矛盾。然而,歐布里德身后2000多年,邏輯學家們發現,同樣類型的矛盾居然也出現在了最嚴格的理論當中,造成了數學領域的劇烈動蕩。


    阿喀琉斯追烏龜

    公元前5世紀的古希臘哲學家,埃利亞的芝諾,也是一位善于創造悖論藝術的大師。他自己一個人就創造出了將近10種悖論,其中最負盛名的,就是“阿喀琉斯追烏龜”。


    想象一下,阿喀琉斯(一位著名的運動健將、“希臘第一勇士”)和一只烏龜,賽跑。為了平衡一下雙方實力,烏龜被允許領先一段距離起跑,比如說領先100米好了。盡管烏龜具有這樣的優勢,然而在我們看來,奔跑速度遠遠大于烏龜的阿喀琉斯都將很快趕超烏龜,贏得比賽。


    然而,芝諾卻向我們證明了相反的結果。芝諾說,比賽的路程可以被分為若干個階段,為了追趕上烏龜,阿喀琉斯必須至少先跑過烏龜領先的100米。而當阿喀琉斯跑過這100米的時候,烏龜也前進了一段距離,因此,阿喀琉斯必須要再跑過這段距離才能追上烏龜。可是當阿喀琉斯跑完這段距離的時候,烏龜又會往前移動一段距離。因此,每次阿喀琉斯跑完了烏龜領先的一段距離,烏龜都會繼續再領先一段距離……


    總之,每次阿喀琉斯跑到之前烏龜所在的地方的時候,烏龜都又前進了一段距離,阿喀琉斯始終也追不上烏龜。這個“追趕”的過程可以一直持續下去,不管重復多少次,都是真的!因此,阿喀琉斯看上去總是越來越接近烏龜,可是永遠也無法超過它。


    很荒謬吧,不是嗎?但是只要親自下場驗證一下就能知道,阿喀琉斯真的是分分鐘就能超越烏龜。然而,芝諾的推演過程看上去很牢靠,似乎很難尋找到什么邏輯上的錯誤。數學家們花了很長很長的時間,才終于明白這個悖論實際上是巧妙地玩弄了“無限”的概念


    假設烏龜和阿喀琉斯沿著直線跑,他們的運動軌跡可以看作歐幾里得所謂的“線段”。一條線段具有一個有限的長度,盡管它是由無限個點構成的,而每個點的長度都等于0。所以,在某種程度上說, 這是一種有限中的無限。芝諾悖論切割了時間間隔,使得阿喀琉斯追趕烏龜的時間間隔變得越來越小。然而,這些無限的階段卻發生在有限的時間內,因此,當時間被突破的時候, 就沒有什么能夠阻擋住阿喀琉斯追上烏龜的腳步了。


    毫無疑問,數學中的“無限”概念絕對是悖論產生的最大來源,然而“無限”同時也是一些最迷人的數學理論產生的搖籃。


    縱觀歷史,數學家們與悖論之間一直保持著一種曖昧的關系。一方面,對于數學家們來說,悖論的出現代表了最嚴重的危機。一旦某一天,某個理論衍生出了一個悖論,那么這個理論的所有基礎,也就是我們依據公理創造出來的所有定理,將紛紛倒塌。


    但是另一方面,悖論意味著挑戰!悖論是一種非常令人興奮的、豐富的問題來源。悖論的存在意味著有什么東西正在困擾著我們,原因是我們錯誤地理解了一個概念,或者錯誤地提出了一個定義,或者錯誤地選擇了一個公理。因為我們太過想當然,把一個明顯不是“顯然”的事情當成了顯然。悖論是通往冒險的邀請函,這張邀請函讓我們不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所當然”。如果沒有悖論不斷地慫恿著我們前進,那么我們將錯過多少新想法和新理論呢?


    作者簡介

    米卡埃爾·洛奈(Micka?l Launay)2005年進入法國巴黎高等師范學院,并于2012年獲得概率學博士學位。


    (本文經授權摘編自北京聯合出版公司出版的《萬物皆數》(2018年8月,[法]米卡埃爾·洛奈/著,孫佳雯/譯)第五章《一點兒方法》。


    文章頭圖及封圖片來源:pixabay.com

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